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4.1 自回归模型（Autoregressive)

自回归模型（AR）基于的基础是可以用历史预测未来，也就是时刻t的数据能用之前时刻的函数来表示。

自回归模型是很多人在拟合时间序列数据时最先尝试的模型，尤其是在对该数据没有额外的了解时。它的基本公式可以用以下公式表示，

AR模型可以扩展到p个近邻时间值，此时称为AR(p)。

python实战演练

在实战中我们应当注意使用AR模型的两个前提假定：

  • 过去发生的数据能够用来预测未来的数据（也就是数据之间是非独立的）

  • 时间序列数据时平稳的

如果数据集是不平稳的，需要使用一些操作将数据去除趋势项和季节项使其变得平稳。

冷知识：平稳性非为强平稳性和弱平稳性，其中强平稳性要求数据的分布不随时间变化，而弱平稳性仅仅要求数据的一阶距和二阶矩（均值和方差）不随时间变化。

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.ar_model import AutoReg
from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
%matplotlib inline
# 导入销售数据，绘制原始图像
sales_data = pd.read_csv('data/retail_sales.csv')
sales_data['date']=pd.to_datetime(sales_data['date'])
sales_data.set_index('date', inplace=True)
sales_data.plot()

我们提到使用AR模型的两个前提假设，相关性和平稳性。 因此先来检验相关性。

检验相关性有两种方法

  • pandas提供了autocorrelation_plot方法用于检验整体自相关性

  • 使用pandas的lag_plot方法检查单个时间间隔的相关性

pd.plotting.autocorrelation_plot(sales_data['sales']) 
# 从自相关性图中可以看到在lag<=12时，acf值在临界点以外，表现出极强的相关性。
# 将上图中相关性最强的lag=12单独画散点图，观察相关性
pd.plotting.lag_plot(sales_data['sales'],lag=12)

第二步检查平稳性，一个最快捷的方法之一是使用statsmodels中的seasonal_decompose方法进行趋势项和季节项的分解。

# 数据集存在明显趋势项（图二单调递增）和季节项（图三周期性变化）
decomposed = seasonal_decompose(sales_data['sales'], model='additive')
x = decomposed.plot()

幸好statsmodel包的AutoReg方法增加了对趋势和季节项特征的处理，直接使用该方法即可

# 划分训练集合测试集
X = sales_data['sales']
train_data = X[1:len(X)-12]
test_data = X[len(X)-12:]  #以最后十二个点作为待预测值

# 训练AR模型
model = AutoReg(train_data,lags=15,missing='drop',trend='t',seasonal=True) 
model_fitted = model.fit()
# 查看模型结果
model_fitted.summary()
# 预测测试集
predictions = model_fitted.predict(
    start=len(train_data), 
    end=len(train_data) + len(test_data)-1, 
    dynamic=False)  # dynamic参数表示是否用预测值动态预测下一个时刻的值

# 比较真实值和预测值
compare_df = pd.concat(
    [sales_data['sales'].tail(12),
    predictions], axis=1).rename(
    columns={'sales': 'actual', 0:'predicted'})
compare_df.plot()
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