4.1 自回归模型（Autoregressive)

自回归模型（AR）基于的基础是可以用历史预测未来，也就是时刻t的数据能用之前时刻的函数来表示。

自回归模型是很多人在拟合时间序列数据时最先尝试的模型，尤其是在对该数据没有额外的了解时。它的基本公式可以用以下公式表示，

y_t = b_0 + b_1 * y_{t -1} + e_t

这个最简单的模型称为AR(1)，其中括号中的1表示时间间隔为1，也就是当前时刻的数据值的计算只考虑到前一个时刻的值。从公式可以看出，它和常规的线性回归十分类似， $b_0,b_1$ 分别代表截距项和回归系数，$$ e_t$$表示t时刻的错误项，其中错误项均值为0，具有固定方差。这个公式表示的是用t-1时刻的时间序列值来拟合t时刻的时间序列值。

AR模型可以扩展到p个近邻时间值，此时称为AR(p)。

y_t = \phi_0 + \phi_1 * y_{t -1} + \phi_2 * y_{t -2} + ... + \phi_p * y_{t - p} + e_t

其中 $\phi$ 表示一系列回归系数。

python实战演练

在实战中我们应当注意使用AR模型的两个前提假定：

过去发生的数据能够用来预测未来的数据（也就是数据之间是非独立的）
时间序列数据时平稳的

如果数据集是不平稳的，需要使用一些操作将数据去除趋势项和季节项使其变得平稳。

冷知识：平稳性非为强平稳性和弱平稳性，其中强平稳性要求数据的分布不随时间变化，而弱平稳性仅仅要求数据的一阶距和二阶矩（均值和方差）不随时间变化。

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.ar_model import AutoReg
from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
%matplotlib inline

# 导入销售数据，绘制原始图像
sales_data = pd.read_csv('data/retail_sales.csv')
sales_data['date']=pd.to_datetime(sales_data['date'])
sales_data.set_index('date', inplace=True)
sales_data.plot()

我们提到使用AR模型的两个前提假设，相关性和平稳性。因此先来检验相关性。

检验相关性有两种方法

pandas提供了autocorrelation_plot方法用于检验整体自相关性
使用pandas的lag_plot方法检查单个时间间隔的相关性

pd.plotting.autocorrelation_plot(sales_data['sales']) 
# 从自相关性图中可以看到在lag<=12时，acf值在临界点以外，表现出极强的相关性。

# 将上图中相关性最强的lag=12单独画散点图，观察相关性
pd.plotting.lag_plot(sales_data['sales'],lag=12)

第二步检查平稳性，一个最快捷的方法之一是使用statsmodels中的seasonal_decompose方法进行趋势项和季节项的分解。

# 数据集存在明显趋势项（图二单调递增）和季节项（图三周期性变化）
decomposed = seasonal_decompose(sales_data['sales'], model='additive')
x = decomposed.plot()

幸好statsmodel包的AutoReg方法增加了对趋势和季节项特征的处理，直接使用该方法即可

# 划分训练集合测试集
X = sales_data['sales']
train_data = X[1:len(X)-12]
test_data = X[len(X)-12:]  #以最后十二个点作为待预测值

# 训练AR模型
model = AutoReg(train_data,lags=15,missing='drop',trend='t',seasonal=True) 
model_fitted = model.fit()

# 查看模型结果
model_fitted.summary()

# 预测测试集
predictions = model_fitted.predict(
    start=len(train_data), 
    end=len(train_data) + len(test_data)-1, 
    dynamic=False)  # dynamic参数表示是否用预测值动态预测下一个时刻的值

# 比较真实值和预测值
compare_df = pd.concat(
    [sales_data['sales'].tail(12),
    predictions], axis=1).rename(
    columns={'sales': 'actual', 0:'predicted'})
compare_df.plot()

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# 导入销售数据，绘制原始图像 sales_data = pd.read_csv('data/retail_sales.csv') sales_data['date']=pd.to_datetime(sales_data['date']) sales_data.set_index('date', inplace=True) sales_data.plot()

# 划分训练集合测试集 X = sales_data['sales'] train_data = X[1:len(X)-12] test_data = X[len(X)-12:] #以最后十二个点作为待预测值 # 训练AR模型 model = AutoReg(train_data,lags=15,missing='drop',trend='t',seasonal=True) model_fitted = model.fit()

# 预测测试集 predictions = model_fitted.predict( start=len(train_data), end=len(train_data) + len(test_data)-1, dynamic=False) # dynamic参数表示是否用预测值动态预测下一个时刻的值 # 比较真实值和预测值 compare_df = pd.concat( [sales_data['sales'].tail(12), predictions], axis=1).rename( columns={'sales': 'actual', 0:'predicted'}) compare_df.plot()