4.1 自回归模型（Autoregressive)

自回归模型（AR）基于的基础是可以用历史预测未来，也就是时刻t的数据能用之前时刻的函数来表示。

自回归模型是很多人在拟合时间序列数据时最先尝试的模型，尤其是在对该数据没有额外的了解时。它的基本公式可以用以下公式表示，

yt=b0+b1∗yt−1+ety_t = b_0 + b_1 * y_{t -1} + e_t

这个最简单的模型称为AR(1)，其中括号中的1表示时间间隔为1，也就是当前时刻的数据值的计算只考虑到前一个时刻的值。从公式可以看出，它和常规的线性回归十分类似，b0,b1 b_0,b_1 分别代表截距项和回归系数，$$ e_t$$表示t时刻的错误项，其中错误项均值为0，具有固定方差。这个公式表示的是用t-1时刻的时间序列值来拟合t时刻的时间序列值。

AR模型可以扩展到p个近邻时间值，此时称为AR(p)。

yt=ϕ0+ϕ1∗yt−1+ϕ2∗yt−2+...+ϕp∗yt−p+ety_t = \phi_0 + \phi_1 * y_{t -1} + \phi_2 * y_{t -2} + ... + \phi_p * y_{t - p} + e_t

其中ϕ\phi表示一系列回归系数。

python实战演练

在实战中我们应当注意使用AR模型的两个前提假定：

  • 过去发生的数据能够用来预测未来的数据（也就是数据之间是非独立的）

  • 时间序列数据时平稳的

如果数据集是不平稳的，需要使用一些操作将数据去除趋势项和季节项使其变得平稳。

冷知识：平稳性非为强平稳性和弱平稳性，其中强平稳性要求数据的分布不随时间变化，而弱平稳性仅仅要求数据的一阶距和二阶矩（均值和方差）不随时间变化。

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.ar_model import AutoReg
from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
%matplotlib inline
# 导入销售数据，绘制原始图像
sales_data = pd.read_csv('data/retail_sales.csv')
sales_data['date']=pd.to_datetime(sales_data['date'])
sales_data.set_index('date', inplace=True)
sales_data.plot()

我们提到使用AR模型的两个前提假设，相关性和平稳性。 因此先来检验相关性。

检验相关性有两种方法

  • pandas提供了autocorrelation_plot方法用于检验整体自相关性

  • 使用pandas的lag_plot方法检查单个时间间隔的相关性

pd.plotting.autocorrelation_plot(sales_data['sales']) 
# 从自相关性图中可以看到在lag<=12时，acf值在临界点以外，表现出极强的相关性。
# 将上图中相关性最强的lag=12单独画散点图，观察相关性
pd.plotting.lag_plot(sales_data['sales'],lag=12)

第二步检查平稳性，一个最快捷的方法之一是使用statsmodels中的seasonal_decompose方法进行趋势项和季节项的分解。

# 数据集存在明显趋势项（图二单调递增）和季节项（图三周期性变化）
decomposed = seasonal_decompose(sales_data['sales'], model='additive')
x = decomposed.plot()

幸好statsmodel包的AutoReg方法增加了对趋势和季节项特征的处理，直接使用该方法即可

# 划分训练集合测试集
X = sales_data['sales']
train_data = X[1:len(X)-12]
test_data = X[len(X)-12:]  #以最后十二个点作为待预测值

# 训练AR模型
model = AutoReg(train_data,lags=15,missing='drop',trend='t',seasonal=True) 
model_fitted = model.fit()
# 查看模型结果
model_fitted.summary()

AutoReg Model Results

Dep. Variable:

sales

No. Observations:

59

Model:

Seas. AutoReg(15)

Log Likelihood

-422.998

Method:

Conditional MLE

S.D. of innovations

3621.518

Date:

Tue, 22 Jun 2021

AIC

17.707

Time:

22:47:53

BIC

18.883

Sample:

02-01-2011

HQIC

18.144

- 09-01-2014

coef

std err

z

P>|z|

[0.025

0.975]

trend

839.9681

362.378

2.318

0.020

129.721

1550.216

seasonal.0

2.213e+05

8.34e+04

2.653

0.008

5.78e+04

3.85e+05

seasonal.1

2.808e+05

8.08e+04

3.476

0.001

1.22e+05

4.39e+05

seasonal.2

1.924e+05

8.7e+04

2.212

0.027

2.19e+04

3.63e+05

seasonal.3

1.689e+05

8.69e+04

1.945

0.052

-1331.228

3.39e+05

seasonal.4

2.263e+05

8.29e+04

2.728

0.006

6.37e+04

3.89e+05

seasonal.5

2.335e+05

7.98e+04

2.926

0.003

7.71e+04

3.9e+05

seasonal.6

2.09e+05

8.26e+04

2.530

0.011

4.71e+04

3.71e+05

seasonal.7

2.318e+05

8.32e+04

2.785

0.005

6.87e+04

3.95e+05

seasonal.8

2.33e+05

8.41e+04

2.771

0.006

6.82e+04

3.98e+05

seasonal.9

2.224e+05

8.4e+04

2.648

0.008

5.78e+04

3.87e+05

seasonal.10

1.901e+05

8.46e+04

2.246

0.025

2.42e+04

3.56e+05

seasonal.11

2.123e+05

8.59e+04

2.473

0.013

4.4e+04

3.81e+05

sales.L1

0.2604

0.155

1.685

0.092

-0.042

0.563

sales.L2

0.1237

0.158

0.785

0.433

-0.185

0.433

sales.L3

0.0379

0.150

0.252

0.801

-0.256

0.332

sales.L4

-0.2515

0.149

-1.691

0.091

-0.543

0.040

sales.L5

0.2431

0.163

1.496

0.135

-0.075

0.562

sales.L6

-0.1179

0.163

-0.722

0.470

-0.438

0.202

sales.L7

-0.1311

0.164

-0.799

0.424

-0.453

0.190

sales.L8

-0.0212

0.196

-0.108

0.914

-0.406

0.363

sales.L9

0.2763

0.201

1.374

0.169

-0.118

0.670

sales.L10

0.0443

0.200

0.222

0.825

-0.347

0.436

sales.L11

0.1980

0.203

0.975

0.330

-0.200

0.596

sales.L12

0.1034

0.202

0.512

0.609

-0.292

0.499

sales.L13

-0.4173

0.206

-2.029

0.042

-0.820

-0.014

sales.L14

0.0320

0.192

0.166

0.868

-0.345

0.409

sales.L15

0.0085

0.206

0.041

0.967

-0.396

0.413

Roots

Real

Imaginary

Modulus

Frequency

AR.1

-0.9178

-0.4910j

1.0409

-0.4218

AR.2

-0.9178

+0.4910j

1.0409

0.4218

AR.3

-1.1752

-0.0000j

1.1752

-0.5000

AR.4

-0.6070

-0.8247j

1.0241

-0.3510

AR.5

-0.6070

+0.8247j

1.0241

0.3510

AR.6

-0.0849

-1.1181j

1.1213

-0.2621

AR.7

-0.0849

+1.1181j

1.1213

0.2621

AR.8

0.3804

-0.9597j

1.0323

-0.1899

AR.9

0.3804

+0.9597j

1.0323

0.1899

AR.10

0.8226

-0.5979j

1.0170

-0.1000

AR.11

0.8226

+0.5979j

1.0170

0.1000

AR.12

1.1469

-0.1677j

1.1591

-0.0231

AR.13

1.1469

+0.1677j

1.1591

0.0231

AR.14

5.1284

-0.0000j

5.1284

-0.0000

AR.15

-9.1838

-0.0000j

9.1838

-0.5000

# 预测测试集
predictions = model_fitted.predict(
    start=len(train_data), 
    end=len(train_data) + len(test_data)-1, 
    dynamic=False)  # dynamic参数表示是否用预测值动态预测下一个时刻的值

# 比较真实值和预测值
compare_df = pd.concat(
    [sales_data['sales'].tail(12),
    predictions], axis=1).rename(
    columns={'sales': 'actual', 0:'predicted'})
compare_df.plot()
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