4.2 移动平均模型（Moving Average）

移动平均模型（MA）依赖的基础是每个时刻点的值是历史数据点错误项的函数，其中这些错误项是互相独立的。

MA模型和AR模型的公式很类似，只是将公式中的历史数值替换成了历史数据的错误项e，由于错误项e是互相独立的，所以在MA模型中，t时刻的数值仅仅和最近的q个数值有关，而和更早的数据之间没有自相关性，在下面的实战中可以看到，如果对MA序列绘制ACF图，它的自相关关系是突然截断的。而AR序列的ACF图常常是缓慢下降的。

$$y_t = \mu + e_t + \theta_1 * e_{t -1} + \theta_2 * e_{t -2} + ... + \theta_q * y_{t - q}$$

同样的，和AR模型类似，满足上述公式的时间序列可以用MA(q)来表示。

python代码实战

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from statsmodels.tsa.arima_model import ARMA
from statsmodels.tsa.arima_process import ArmaProcess
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
%matplotlib inline

模拟MA序列

# ar,ma必须以array的形式输入，且第一位表示lag=0，通常这个值会设为1
ar = np.array([1])  # ar项只有一个间隔=0的值表示是一个纯MA序列
ma = np.array([1, -0.9]) # ma序列有两个值，第一个是常数项，第二个是前一个时刻的系数，这是一个MA(1)模型
MA_object = ArmaProcess(ar, ma)
simulated_data = MA_object.generate_sample(nsample=1000)
plt.plot(simulated_data)

# 画出acf图像后看到，如上文所说，对于一个MA(1)序列，从时间间隔大于等于2开始，相关系数断崖式下降
plot_acf(simulated_data, lags=20)
plt.show()

模型拟合与评估

# order=(0,1)表示这是一个纯MA(1)模型
mod = ARMA(simulated_data_1, order=(0, 1))  
res = mod.fit()

# 观察模型拟合结果， 系数为-0.8937，和我们创建时间序列的系数-0.9很接近
print(res.summary())

# 打印拟合值
print(res.params)

[-6.05711676e-04 -8.93691112e-01]

模型预测

res.plot_predict(start=990, end=1010)
plt.show()

可以看到MA模型仅仅对样本内的值有实际预测效果，对样本外的值会用统一用整体均值来预测